Biết số tự nhiên n thỏa mãn \(C_n^1 + 2\frac{{C_n^2}}{{C_n^1}} + ... + n\frac{{C_n^n}}{{C_n^{n - 1}}} = 45\) .

* Hướng dẫn giải

Xét số hạng tổng quát: \(k\frac{{C_n^k}}{{C_{n - 1}^k}} = \frac{{\frac{{k.n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}}}{{\frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n + 1 - k} \right)!}}}} = n + 1 - k,\) với \(k,b \in N;1 \le k \le n.\) 

Do đó: \(C_n^1 + 2\frac{{C_n^2}}{{C_n^1}} + ... + n\frac{{C_n^n}}{{C_n^{n - 1}}} = 45 \Leftrightarrow n + (n - 1) + ... + 1 - 45 \Leftrightarrow \frac{{n(n + 1)}}{2} = 45 \Leftrightarrow {n^2} + n - 90 = 0\) 

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
n = 9\\
n =  - 10(l)
\end{array} \right. \Rightarrow n = 9.\) Vậy \(C_{n + 4}^n = C_{13}^9 = 715.\)