Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + mx - 1\) 

* Hướng dẫn giải

\(y = {x^3} + {x^2} + mx - 1 \Rightarrow y' = 3{x^2} + 2x + m.\) 

Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta ' = 1 - 3m > 0 \Leftrightarrow m < \frac{1}{3}(1).\) 

Khi đó, giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình y’=0.

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} =  - \frac{2}{3}\\
{x_1}{x_2} = \frac{m}{3}
\end{array} \right.\)  

Bảng biến thiên

Do \({x_1} + {x_2} =  - \frac{2}{3} < 0\) nên hoặc nên điểm cực tiểu của đồ thị hàm số \(y = {x^3} + {x^2} + mx - 1\) nằm bên phải trục tung \( \Leftrightarrow {x_1}{x_2} < 0 \Leftrightarrow \frac{m}{3} < 0 \Leftrightarrow m < 0\left( 2 \right).\) 

\(\left( 1 \right);\left( 2 \right) \Rightarrow m < 0.\)