Cho hàm số \(f(x)\) có đạo hàm trên R và \(f\left( x \right) > 0,\forall x \in R.\) Biết \(f\left( 1 \right) = 2.

* Hướng dẫn giải

Xét đáp án A:

Ta có: \(\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx}  + \int\limits_1^3 {f'\left( x \right)dx}  > \int\limits_1^2 {0dx}  = 0 \Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) + f\left( 3 \right) - f\left( 1 \right) > 0 \Leftrightarrow 4 - 4 > 0\) Vô lí . nên đáp án A không thể xảy ra.

Xét đáp án C:

Ta có: \(\int\limits_1^2 {f'\left( x \right)dx}  > \int\limits_1^2 {0dx = 0 \Rightarrow f\left( 2 \right) - f\left( 1 \right) > 0 \Leftrightarrow 1 - 2 > 0} \) Vô lí. Nên phương án C không thể xảy ra.

Xét đáp án D:

Ta có: \(\int\limits_{2018}^{2019} {f'\left( x \right)dx}  > \int\limits_{2018}^{2019} {0dx}  = 0 \Rightarrow f\left( {2019} \right) - f\left( {2018} \right) > 0 \Leftrightarrow f(2019) > f\left( {2018} \right).\) nên phương án D không thể xảy ra.

Bằng phương pháp loại suy, ta có đáp án B.

Tuy nhiên, ta có thể chỉ ra một hàm \(f\left( x \right) = {x^2} + 1\) thỏa mãn đáp án B vì

\(\left\{ \begin{array}{l}
f'\left( x \right) > 0,\forall x \in R\\
f\left( 1 \right) = 2
\end{array} \right. \Rightarrow f\left( { - 1} \right) = 2.\)