Hệ số của x5 trong khai triển \({\left( {1 - 2x - 3{x^2}} \right)^9}\) là

* Hướng dẫn giải

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\left( {1 - 2x - 3{x^2}} \right)^9} = {\left[ {1 + \left( { - 2x - 3{x^2}} \right)} \right]^9}\\
 = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k{{\left( { - 2x - 3x{}^2} \right)}^{9 - k}} = } \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} \sum\limits_{m = 0}^{9 - k} {C_{9 - k}^m{{\left( { - 2x} \right)}^{9 - k - m}}{{\left( { - 3{x^2}} \right)}^m}} \\
 = \sum\limits_{k = 0}^9 {\sum\limits_{m = 0}^{9 - k} {C_9^kC_{9 - k}^m{{\left( { - 2} \right)}^{9 - k - m}}{{\left( { - 3} \right)}^m}{x^{9 - k + m}}} } 
\end{array}\) 

Số hạng chứa x⁵ khi \(\left\{ \begin{array}{l}
0 \le m \le k \le 9\\
m \le 9 - k\\
9 - k + m = 5\\
m,k \in N
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
m = 0,k = 4\\
m = 1,k = 5\\
m = 2,k = 6
\end{array} \right.\) 

Vậy hệ số của số hạng chứa x⁵ là:

\(C_9^4C_5^0{\left( { - 2} \right)^5}{\left( { - 3} \right)^0} + C_9^5C_4^1{\left( { - 2} \right)^3}{\left( { - 3} \right)^1} + C_9^6C_3^2{\left( { - 2} \right)^1}{\left( { - 3} \right)^2} = 3528.\)