Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABCD).

* Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của cạnh AD. Do tam giác SAD đều nên \(SH \bot AD.\) 

\(\left. \begin{array}{l}
\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\
\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD\\
SH \subset \left( {SAD} \right),SH \bot AD
\end{array} \right\} \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\) 

Gọi K là trung điểm của \(HB \Rightarrow MK//SH.\) 

Do đó: \(MK \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow MK \bot \left( {CNP} \right)\) 

Vậy MK là chiều cao của khối tứ diện CMNP.

\(MK = \frac{1}{2}SH = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\) 

\({S_{CNP}} = \frac{1}{2}.CN.CP = \frac{1}{2}.\frac{a}{2}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}}}{8}\) 

Thể tích khối tứ diện CMNP là \({V_{CMNP}} = \frac{1}{3}{S_{CNP}}.MK = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{8}.\frac{{a\sqrt 3 }}{4} = \frac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{96}}.\)