Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh \(a,ABC = {60^0},\) cạnh bên \(SA = a\sqrt 2 \) và SA vuông góc với ABCD. Tính góc giữa SB và (SAC).

* Hướng dẫn giải

Gọi \(O = AC \cap BD.\) Vì ABCD là hình thoi nên \(BO \bot AC\left( 1 \right).\) Lại do:

\(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC\left( 2 \right).\) Từ (1) và (2) ta có:

\(BO \bot \left( {SAC} \right) \Rightarrow \left( {SB;\left( {SAC} \right)} \right) = \left( {SB;SO} \right) = BSO.\) 

Ta có: \(SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}}  = a\sqrt 3 .\) Vì ABCD là hình thoi có \(ABC = {60^0}\) nên tam giác ABC đều cạnh \(a \Rightarrow BO = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\) Trong tam giác vuông SBO ta có: \(\sin BSO = \frac{{BO}}{{SB}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 3 }} = \frac{1}{2}\) 

\( \Rightarrow BSO = {30^0}.\)