Tìm số tiệm cận (bao gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số \(y = \frac{{\sqrt {4{x^2} + 5} }}{{\sqrt {

* Hướng dẫn giải

Hàm số có tập xác định là \(\left[ { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ 0 \right\}.\) 

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{\sqrt {4{x^2} + 5} }}{{\sqrt {2x + 1}  - x - 1}} =  - 2 \Rightarrow y =  - 2\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho.

Mặt khác, \(\sqrt {2x + 1}  = x + 1 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 1 \ge 0\\
2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow x = 0\) 

Với mọi x > 0 ta có \({x^2} > 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 > 2x + 1 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} > 2x + 1 \Rightarrow x + 1 > \sqrt {2x + 1} \) 

\( \Rightarrow \sqrt {2x + 1}  - x - 1 < 0 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {4{x^2} + 5} }}{{\sqrt {2x + 1}  - x - 1}} =  - \infty  \Rightarrow x = 0\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho.

Vậy hàm số đã cho có 2 đường tiệm cận.