Số giá trị nguyên m để phương trình \(\sqrt {4m - 4} .\sin x.\cos x + \sqrt {m - 2} .\cos 2x = \sqrt {3m - 9} \) có nghiệm là:

* Hướng dẫn giải

Điều kiện xác định: \(\left\{ \begin{array}{l}
4m - 4 \ge 0\\
m - 2 \ge 0\\
3m - 9 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ge 1\\
m \ge 2\\
m \ge 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow m \ge 3.\) 

\(\begin{array}{l}
\sqrt {4m - 4} .\sin x.\cos x + \sqrt {m - 2} .\cos 2x = \sqrt {3m - 9} \\
 \Leftrightarrow \sqrt {m - 1} \left( {2\sin x.\cos x} \right) + \sqrt {m - 2} \cos 2x = \sqrt {3m - 9} \\
 \Leftrightarrow \sqrt {m - 1} .\sin 2x + \sqrt {m - 2} .\cos 2x = \sqrt {3m - 9} 
\end{array}\) 

Phương trình có \(a = \sqrt {m - 1} ,b = \sqrt {m - 2} ,c = \sqrt {3m - 9} .\) 

Điều kiện để phương trình có nghiệm: \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}.\) 

Ta có 

\(\begin{array}{l}
{\left( {\sqrt {m - 1} } \right)^2} + {\left( {\sqrt {m - 2} } \right)^2} \ge {\left( {\sqrt {3m - 9} } \right)^2}\\
 \Leftrightarrow m - 1 = m - 2 \ge 3m - 9\\
 \Leftrightarrow m \le 6.
\end{array}\) 

Kết hợp điều kiện ta được \(3 \le m \le 6.\) 

Mà \(m \in Z\) nên \(m \in \left\{ {3;4;5;6} \right\}.\)