Trên trục tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD.

* Hướng dẫn giải

Gọi cạnh hình vuông bằng a. Do \(\Delta ABK \sim \Delta MDK \Rightarrow \frac{{MD}}{{AB}} = \frac{{DK}}{{KB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{DK}}{{DB}} = \frac{1}{4}.\) 

Ta có \(\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {DM}  = \overrightarrow {AD}  + \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} \)  (1)

\(\overrightarrow {NK}  = \overrightarrow {BK}  - \overrightarrow {BN}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {BD}  - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \frac{3}{4}\left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {BC} } \right) - \frac{1}{2}\overrightarrow {BC}  = \frac{3}{4}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} \) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {NK}  = \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC}  + \frac{1}{4}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {DC}  = 0 \Rightarrow AM \bot NK.\) 

Vì \(AM \bot NK\) nên NK có phương trình tổng quát: \(10x + y - 2019 = 0.\) 

Khoảng cách từ O đến NK là \(d\left( {O,NK} \right) = \frac{{\left| { - 2019} \right|}}{{\sqrt {{{10}^2} + {1^2}} }} = \frac{{2019\sqrt {101} }}{{101}}.\)