Cho hình chóp đều S.ABC có \(SA = 9a,AB = 6a.\) Gọi M là điểm thuộc cạnh SC sao cho \(SM = \frac{1}{2}SC.

* Hướng dẫn giải

Ta có \(\cos ASB = \frac{{S{A^2} + S{B^2} - A{B^2}}}{{2.SA.SB}} = \frac{7}{9} = \cos CSB = \cos ASC\) 

\(\begin{array}{l}
A{M^2} = S{A^2} + S{M^2} - 2SA.SM.\cos ASC = 48 \Rightarrow AM = 4\sqrt 3 \\
\overrightarrow {AM}  = \overrightarrow {SM}  - \overrightarrow {SA}  = \frac{1}{3}\overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SA} 
\end{array}\) 

Do đó \(\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {SB}  = \left( {\frac{1}{3}\overrightarrow {SC}  - \overrightarrow {SA} } \right).\overrightarrow {SB}  = \frac{1}{3}.SC.SB.\cos BSC - SA.SB.\cos ASB =  - 42{a^2}\) nên

\(\cos \left( {AM;SB} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AM} .\overrightarrow {SB} } \right|}}{{AM.SB}} = \frac{{42}}{{4\sqrt 3 .9}} = \frac{{14}}{{3\sqrt {48} }}.\)