Cho lăng trụ đều \(ABC.ABC,AB = 2a,M\) là trung điểm AB,  \(d\left( {C\left( {MBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.

* Hướng dẫn giải

Gọi I, K, H theo thứ tự là trung điểm của \(BC,B'C',KA'.\) 

\(\begin{array}{l}
MH//BC \Rightarrow \left( {MBC} \right) \equiv \left( {MHJB} \right).\\
B'C'//\left( {MBC} \right) \Rightarrow d\left( {C',\left( {MBC} \right)} \right) = d\left( {K,\left( {MBC} \right)} \right)\\
MH \bot KA',MH \bot JK \Rightarrow MH \bot \left( {JKH} \right) \Rightarrow \left( {JKH} \right) \bot \left( {MHJB} \right)
\end{array}\) 

Gọi L là hình chiếu của K trên JH \( \Rightarrow d\left( {K,\left( {MBC} \right)} \right) = KL.\) 

Tam giác JKH vuông tại K có đường cao

\(KL = \frac{{a\sqrt 2 }}{2},KH = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{1}{{K{L^2}}} = \frac{1}{{K{H^2}}} + \frac{1}{{K{J^2}}} \Rightarrow KJ = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\) là độ dài đường cao của lăng trụ.

\({V_{ABC.A'B'C'}} = KJ.{S_{ABC}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}{a^3}.\)