Cho hàm số \(y = \frac{{ - x + 2}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C) và điểm \(A\left( {a;1} \right).

* Hướng dẫn giải

TXĐ: \(D=R\backslash \left\{ 1 \right\}.\) 

\(y' =  - \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) 

Tiếp tuyến tại tiếp điểm có hoành độ \({x_0}\left( {{x_0} \ne 1} \right)\) của (C) có phương trình.

 \(y =  - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{ - {x_0} + 2}}{{{x_0} - 1}}{\rm{  (}}\Delta {\rm{)}}\)

Đt \(\left( \Delta  \right)\) đi qua \(A\left( {a;1} \right) \Rightarrow 1 =  - \frac{1}{{{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {a - {x_0}} \right) - \frac{{{x_0} - 2}}{{{x_0} - 1}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{x_0}^2 - 6{x_0} + a + 3 = 0{\rm{ (*)}}\\
{x_0} \ne 1
\end{array} \right.\) 

Có duy nhất 1 tiếp tuyến qua A pt(*) có duy nhất 1 nghiệm khác 1

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = 0\\
{2.1^2} - 6.1 + a + 3 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 - 2a = 0\\
a - 1 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow a = \frac{3}{2} = \frac{m}{n} \Rightarrow m + n = 5\) 

Chọn C.