Cho hàm số \(y=f(x)\) liên tục trên R có đồ thị như hình vẽ:           

* Hướng dẫn giải

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(y=f(x)\) đồng biến trên R.

Do đó: \(f\left( {16{{\cos }^2}x + 6\sin 2x - 8} \right) = f\left( {n\left( {n + 1} \right)} \right) \Leftrightarrow 16{\cos ^2}x + 6\sin 2x - 8 = n\left( {n + 1} \right)\) 

\( \Leftrightarrow 16.\frac{{1 + \cos 2x}}{2} + 6\sin 2x - 8 = n\left( {n + 1} \right) \Leftrightarrow 8\cos 2x + 6\sin 2x = n\left( {n + 1} \right)\) 

Phương trình có nghiệm \(x \in R \Leftrightarrow {8^2} + {6^2} \ge {n^2}{\left( {n + 1} \right)^2} \Leftrightarrow {n^2}{\left( {n + 1} \right)^2} \le 100\) 

\(\left\{ \begin{array}{l}
n\left( {n + 1} \right) \ge  - 10\\
n\left( {n + 1} \right) \le 10
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{n^2} + n + 10 \ge 0\\
{n^2} + n - 10 \le 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow {n^2} + n - 10 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 1 - \sqrt {41} }}{2} \le n \le \frac{{ - 1 + \sqrt {41} }}{2}.\) 

Vì \(n \in Z\) nên \(n \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1;2} \right\}.\)