Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình dưới đây có nghiệm?\(4\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).

* Hướng dẫn giải

Phương trình ban đầu tương đương với \(2\left( {\sin \left( {2x + \frac{\pi }{6}} \right) + \sin \frac{\pi }{2}} \right) = {m^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x\) 

\( \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin 2x + \cos 2x + 2 = {m^2} + \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{{{m^2} - 2}}{2}.\) 

Phương trình ban đầu có nghiệm khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}
\frac{{{m^2} - 2}}{2} \ge  - 1\\
\frac{{{m^2} - 2}}{2} \le 1
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \in \left( { - \infty ; + \infty } \right)\\
 - 2 \le m \le 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow  - 2 \le m \le 2\) 

Với m là số nguyên ta sẽ được \(m =  - 2;m =  - 1;m = 0;m = 1;m = 2\)