Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh a. Tam giác SAB đều

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

Gọi Q là trung điểm CD, ta có PQ//SC//MN nên MN//(APQ)

=> d(MN, PQ)=d(MN, (APQ))=d(N,(APQ))

Vì $\left\{\begin{array}{l}ND\perp HC\\ ND\perp SH\end{array}\right.\Rightarrow ND\perp \left(SHC\right)$

$\Rightarrow ND\perp SC\Rightarrow ND\perp PQ$

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AQ}.\overrightarrow{ND}=(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DQ}).(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CN})=\overrightarrow{0} \\ \Rightarrow AQ\perp ND \end{gathered}$$

Vậy có

 $$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}ND\perp PQ\\ ND\perp AQ\end{array}\right.\Rightarrow ND\perp \left(APQ\right) tại E \\ \Rightarrow d(MN,AP)=NE \end{gathered}$$

Mà có 

$$\begin{gathered} \frac{1}{D{E}^2}=\frac{1}{D{A}^2}+\frac{1}{D{Q}^2}=\frac{5}{a^2} \\ \Rightarrow DE=\frac{a}{\sqrt{5}} \end{gathered}$$

Và $DN=\frac{a\sqrt{5}}{2}\Rightarrow EN=\frac{3a\sqrt{5}}{10}$

Vậy $d(MN,AP)=\frac{2a}{\sqrt{10}}$