Tìm các giá trị m thuộc R để bất phương trình 2^sin^2x+3^cos^2x

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

$$\begin{gathered} Đặt {\sin }^{2}x=t \left(t\in \left[0;1\right]\right) \\ BPT\iff 2^t+3^{1-t}\le m.3^t \\ \iff 2^t+3^{1-t}-m.3^t\le 0 \\ \iff {\left(\frac{2}{3}\right)}^t+\frac{3}{{\left(3^t\right)}^2}\le m \\ Đặt f\left(t\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^t+\frac{3}{{\left(3^t\right)}^2}={\left(\frac{2}{3}\right)}^t+\frac{3}{9^t} với 0\le t\le 1 \\ f\text{'}\left(t\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^t\ln \frac{2}{3}+3.{\left(\frac{1}{9}\right)}^t.\ln \left(\frac{1}{9}\right)<0 với\forall t \\ Ta có f\left(0\right)=4; f\left(1\right)=1 \\ Để BPT nghệm đúng thì \underset{t\in [0;1]}{max f\left(t\right)}\le m \\ \iff 4\le m\iff m\ge 4 \end{gathered}$$