xét phương trình 2.log3(cotx)=log2(cosx) a. -1

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

$$\begin{gathered} 2{\log }_3\left(cotx\right)={\log }_2\left(\cos x\right) \\ \iff {\log }_3\left(co{t}^{2}x\right)={\log }_2\left(\cos x\right)=t \\ \iff co{t}^{2}x=3^t \\ Với t={\log }_2\left(\cos x\right) \iff \cos x=2^t \\ \iff {\cos }^{2}x={\left(2^t\right)}^2\iff \frac{{\cos }^{2}x}{1-{\cos }^{2}x}=\frac{{\left(2^t\right)}^2}{1-{\cos }^{2}x} \\ \iff co{t}^{2}x=\frac{{\left(2^t\right)}^2}{1-{\left(2^t\right)}^2}=\frac{2^{2t}}{1-2^{2t}} \\ \Rightarrow \frac{2^{2t}}{1-2^{2t}}=3^t \\ \iff 2^{2t}=3^t-3^t.2^{2t} \\ \iff 4^t-3^t+3^t.4^t=0 \\ \iff 1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^t+3^t=0 \\ \iff 3^t={\left(\frac{3}{4}\right)}^t-1 \\ xét 2 hàm số y=3^t và y={\left(\frac{3}{4}\right)}^t-1 \\ Ta thấy hàm số y=3^t đồng biến trên R và y={\left(\frac{3}{4}\right)}^t-1 nghịch biến trên R \\ \Rightarrow PT có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất \\ Ta có t=-1 là nghiệm của PT \\ \Rightarrow t=-1 là nghiệm duy nhất \end{gathered}$$