Biết các số thực x,y thỏa mãn 3^x+9^y=1 Tìm GTLN của S

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

$$\begin{gathered} Đặt \left\{\begin{array}{l}{3}^x=a (a>0)\\ 9^y=b (b>0)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x={\log }_{3}a\\ y={\log }_{9}b\end{array}\right. \\ \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}a+b=1\\ S={\log }_{3}a+{\log }_{9}b={\log }_{3}a+\frac{1}{2}{\log }_{3}b\end{array}\right. \\ Thay b=1-a (0<a<1) ta có: \\ S={\log }_{3}a+\frac{1}{2}{\log }_3(1-a) \\ S\text{'}=\frac{1}{a\ln 3}+\frac{1}{2}.\frac{-1}{(1-a)\ln 3}=\frac{2(1-a)-a}{2a(1-a)\ln 3}=\frac{2-3a}{2a(1-a)\ln 3} \\ S\text{'}=0\iff a=\frac{2}{3} \\ Lập BBT ta thấy S max tại a=\frac{2}{3} \\ S\left(\frac{2}{3}\right)={\log }_3\left(\frac{2}{3}\right)+\frac{1}{2}{\log }_3\left(1-\frac{2}{3}\right)={\log }_{3}2-1+\frac{1}{2}{\log }_3\left(\frac{1}{3}\right) \\ ={\log }_{3}2-1-\frac{1}{2}={\log }_{3}2-\frac{3}{2} \\ \Rightarrow S_{max}={\log }_{3}2-\frac{3}{2} \end{gathered}$$