Biết z thỏa mãn |z ngang - 1 + i| = |z + 3 + i|. Tìm |z|min

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

$$\begin{gathered} \mathrm{Đặt} \mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{bi} (\mathrm{a};\mathrm{b}\in \mathrm{ℝ}) \Rightarrow \overline{\mathrm{z}}=\mathrm{a}-\mathrm{bi} \\ \left|\overline{\mathrm{z}}-1+\mathrm{i}\right|=\left|\mathrm{a}-1+(1-\mathrm{b})\mathrm{i}\right|=\sqrt{{(\mathrm{a}-1)}^2+{(1-\mathrm{b})}^2} \\ \left|\mathrm{z}+3+\mathrm{i}\right|=\left|\mathrm{a}+3+(\mathrm{b}+1)\mathrm{i}\right|=\sqrt{{(\mathrm{a}+3)}^2+{(\mathrm{b}+1)}^2} \\ \mathrm{Từ} \mathrm{giả} \mathrm{thiết} \mathrm{đề} \mathrm{bài} \Rightarrow {(\mathrm{a}-1)}^2+{(1-\mathrm{b})}^2={(\mathrm{a}+3)}^2+{(\mathrm{b}+1)}^2 \\ \iff -2\mathrm{a}+1+1-2\mathrm{b}=6\mathrm{a}+9+2\mathrm{b}+1 \\ \iff 8\mathrm{a}+4\mathrm{b}+8=0 \\ \iff 2\mathrm{a}+\mathrm{b}+2=0 \\ \iff \mathrm{b}=-2-2\mathrm{a} \\ \Rightarrow \left|\mathrm{z}\right|=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{(-2-2\mathrm{a})}^2}=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+4+8\mathrm{a}+4{\mathrm{a}}^2}=\sqrt{5{\mathrm{a}}^2+8\mathrm{a}+4} \\ \mathrm{Đặt} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=5{\mathrm{a}}^2+8\mathrm{a}+4 \\ \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=10\mathrm{a}+8=0\iff \mathrm{a}=\frac{-4}{5} \\ \Rightarrow \mathrm{f}{\left(\mathrm{x}\right)}_{\min }=\mathrm{f}\left(\frac{-4}{5}\right)=\frac{4}{5} \\ \Rightarrow {\left|\mathrm{z}\right|}_{\min }=\sqrt{\frac{4}{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}} \end{gathered}$$