Biết diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường y = trị tuyệt đối ln x và y = 1 là

Câu hỏi :

Biết diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\left|\ln x\right|$ và $y=1$ là $S=ae+\frac{b}{e}+c$ với a , b , c là các số nguyên. Tính $P=a+b+c.$

* Đáp án

C

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có phương trình hoành độ giao điểm: $\left|\ln x\right|=1\iff \left[\begin{array}{l}\ln x=1\\ \ln x=-1\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=e\\ x=\frac{1}{e}\end{array}\right.$

$S=\underset{\frac{1}{e}}{\overset{e}{\int }}\left(1-\left|\ln x\right|\right)\text{d}x=\underset{\frac{1}{e}}{\overset{1}{\int }}\left(1+\ln x\right)\text{d}x+\underset{1}{\overset{e}{\int }}\left(1-\ln x\right)\text{d}x=I_1+I_2$

Tính $I_1=\underset{\frac{1}{e}}{\overset{1}{\int }}\left(1+\ln x\right)\text{d}x$. Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=1+\ln x\\ \text{d}v\text{\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}d}x\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\text{d}u\text{\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}}\frac{1}{x}\text{d}x\\ v=x\end{array}\right.$

$\Rightarrow I_1=x\left(1+\ln x\right){|}_{\frac{1}{e}}^1-\underset{\frac{1}{e}}{\overset{1}{\int }}\text{d}x=1-x{|}_{\frac{1}{e}}^1=1-\left(1-\frac{1}{e}\right)=\frac{1}{e}$

Tính $I_2=\underset{1}{\overset{e}{\int }}\left(1-\ln x\right)\text{d}x$. Đặt $\left\{\begin{array}{l}u=1-\ln x\\ \text{d}v\text{\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}d}x\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}\text{d}u\text{\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}}-\frac{1}{x}\text{d}x\\ v=x\end{array}\right.$

$\Rightarrow I_2=x\left(1-\ln x\right){|}_1^e+\underset{1}{\overset{e}{\int }}\text{d}x=-1+x{|}_1^e=-1+\left(e-1\right)=e-2$

Suy ra $S=e+\frac{1}{e}-2=ae+\frac{b}{e}+c\Rightarrow a=1$

Vậy, $P=a+b+c=0$