Trang chủ Đề thi & kiểm tra Lớp 12 Toán học Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !! Cho parabol (P): y = x^2 + 1 và đường...

Cho parabol (P): y = x^2 + 1 và đường thẳng d: y = mx + 2. Biết tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d

Toán học - Lớp 12

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 1 Lũy thừa

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 2 Hàm số lũy thừa

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 4 Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 5 Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 6 Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Bài 1 Nguyên hàm

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Bài 2 Tích phân

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Bài 3 Ứng dụng của tích phân trong hình học

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1 Số phức

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2 Cộng, trừ và nhân số phức

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 4 Bài 3 Phép chia số phức

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 4 Bài 4 Phương trình bậc hai với hệ số thực

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 1 Bài 1 Khái niệm về khối đa diện

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 1 Bài 2 Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 1 Bài 3 Khái niệm về thể tích khối đa diện

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 2 Bài 2 Khái niệm về mặt tròn xoay

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 2 Bài 2 Mặt cầu

Trắc nghiệm Hình học 12 Bài 1 Hệ tọa độ trong không gian

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 3 Bài 2 Phương trình mặt phẳng

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 3 Bài 3 Phương trình đường thẳng trong không gian

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 1 Khối đa diện

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 4 Số phức

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi :

Cho parabol $(P) : y = x^{2} + 1$ và đường thẳng $d : y = m x + 2$ . Biết rằng tồn tại m để diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất, tính diện tích nhỏ nhất đó.

A. S = 4

B. S = $\frac{4}{3}$

C. S = 0

D. S = $\frac{2}{3}$

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Chọn B.

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là :

x^{2} + 1 = m x + 2 \Leftrightarrow x^{2} - m x - 1 = 0 (*)

Ta có

Δ = m^{2} + 4 > 0, \forall m \in R

nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt

x = a

và

x = b (a < b) .

Do đó (P) luôn cắt d tại 2 điểm phân biệt

A (a; m a + 2)

và

B (b; m b + 2) .

Với mọi m, đường thẳng d luôn đi qua điểm

M (0; 2) .

Mà

y_{C T} = 1.

Suy ra

m x + 2 \geq x^{2} + 1, \forall x \in [a; b] .

Do đó diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d là.

\begin{array}{l} S = \int_{a}^{b} (m x + 2 - (x^{2} + 1)) d x = \int_{a}^{b} (m x + 1 - x^{2}) d x = (\frac{m x}{2} + x - \frac{x^{3}}{3}) |\begin{array}{l} b \\ a \end{array} \\ = (b - a) [\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} (a^{2} + b^{2} + a b)] \\ = (b - a) [\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{3} a b] \\ \Rightarrow S^{2} = {(b - a)}^{2} {[\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{3} a b]}^{2} \\ = [{(b + a)}^{2} - 4 a b] {[\frac{m}{2} (b + a) + 1 - \frac{1}{3} {(a + b)}^{2} + \frac{1}{3} a b]}^{2} \end{array}

Vì a, b là nghiệm của phương trình (*) nên ta có

\{\begin{cases} a + b = m \\ a b = - 1 \end{cases} .

Khi đó

S^{2} = (m^{2} + 4) {(\frac{m^{2}}{6} + \frac{2}{3})}^{2} \geq 4. \frac{4}{9} = \frac{16}{9} .

Đẳng thức xảy ra khi

m = 0.

Vậy

S_{\min} = \frac{4}{3} .

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !

Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Số câu hỏi: 444

Lớp 12

Toán học