Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A ( 3 0 -2 ) và mặt cầu (S)

Câu hỏi :

Trong không gian với hệ trục toạ độ $Oxyz$, cho điểm $A\left(3;0;-2\right)$ và mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=25$.

Một đường thẳng d đi qua A, cắt mặt cầu tại hai điểm M, N. Độ dài ngắn nhất của MN là

* Đáp án

A

* Hướng dẫn giải

Chọn A.

 Mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z+3\right)}^2=25$ có tâm $I\left(1;-2;-3\right);R=5$

Ta có: $AI=3<5=R.$ Nên điểm A năm trong mặt cầu.

Gọi H là hình chiếu của I trên đường thẳng d.

Trong tam giác vuông $\Delta IAH$ $v\text{à\hspace{0.17em}}\Delta IHM$. Ta có: $IH\le IA;\frac{1}{2}MN=HM=\sqrt{I{M}^2-I{H}^2}$

Do đó để $M{N}_{\min }$ thì $I{H}_{M\text{ax}}\Rightarrow IH=IA\Rightarrow MN=2HM=2\sqrt{I{M}^2-I{A}^2}=8.$