Cho hàm số f(x) xác định trên R {-1;1} và thỏa mãn

* Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có $f\left(x\right)=\int \frac{1}{x^2-1}\text{d}x=\frac{1}{2}\int \left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)\text{d}x$$=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C$

Với $x\in \left(-\infty ;-1\right)$; $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_1$

Với $x\in \left(1;+\infty \right)$; $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_3$

Mà $f\left(-3\right)+f\left(3\right)=0$$\iff \frac{1}{2}\ln \left|\frac{-3-1}{-3+1}\right|+C_1+\frac{1}{2}\ln \left|\frac{3-1}{3+1}\right|+C_3=0$

$\iff \frac{1}{2}\ln 2+C_1+\frac{1}{2}\ln \frac{1}{2}+C_3=0$$\iff C_1+C_3=0$

Do đó $f\left(-2\right)=\frac{1}{2}\ln 3+C_1$; $f\left(4\right)=\frac{1}{2}\ln \frac{3}{5}+C_3$

Với $x\in \left(-1;1\right)$; $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C_2$

Mà $f\left(-\frac{1}{2}\right)+f\left(\frac{1}{2}\right)=2$$\iff \frac{1}{2}\ln \left|\frac{-\frac{1}{2}-1}{-\frac{1}{2}+1}\right|+C_2+\frac{1}{2}\ln \left|\frac{\frac{1}{2}-1}{\frac{1}{2}+1}\right|+C_2=2$

$\iff \frac{1}{2}\ln 3+C_2+\frac{1}{2}\ln \frac{1}{3}+C_2=2$$\iff C_2=1$

Do đó với $x\in \left(-1;1\right)$; $f\left(x\right)=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+1$$\Rightarrow f\left(0\right)=1$

Vậy $T=f\left(-2\right)+f\left(0\right)+f\left(4\right)$$=1+\frac{1}{2}\ln \frac{9}{5}$