Home

Đăng nhập Đăng kí

Trang chủ Đề thi & kiểm tra Lớp 12 Toán học Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !! Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên...

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn

Toán học - Lớp 12

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 1 Lũy thừa

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 2 Hàm số lũy thừa

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 4 Hàm số mũ và hàm số lôgarit

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 5 Phương trình mũ và phương trình lôgarit

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 2 Bài 6 Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Bài 1 Nguyên hàm

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Bài 2 Tích phân

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Bài 3 Ứng dụng của tích phân trong hình học

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 1 Số phức

Trắc nghiệm Toán 12 Bài 2 Cộng, trừ và nhân số phức

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 4 Bài 3 Phép chia số phức

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 4 Bài 4 Phương trình bậc hai với hệ số thực

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 1 Bài 5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 1 Bài 1 Khái niệm về khối đa diện

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 1 Bài 2 Khối đa diện lồi và khối đa diện đều

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 1 Bài 3 Khái niệm về thể tích khối đa diện

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 2 Bài 2 Khái niệm về mặt tròn xoay

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 2 Bài 2 Mặt cầu

Trắc nghiệm Hình học 12 Bài 1 Hệ tọa độ trong không gian

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 3 Bài 2 Phương trình mặt phẳng

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 3 Bài 3 Phương trình đường thẳng trong không gian

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 3 Phương pháp tọa độ trong không gian

Trắc nghiệm Hình học 12 Chương 1 Khối đa diện

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 4 Số phức

Trắc nghiệm Toán 12 Chương 3 Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi :

Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn $\int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x = \frac{e^{2} - 1}{4}$ và f(1)=0 . Tính $\int_{0}^{1} f (x) d x$

A. $\frac{e - 1}{2}$

B. $\frac{e^{2}}{4}$

C. e-2

D. $\frac{e}{2}$

* Đáp án

C

* Hướng dẫn giải

Chọn C

- Tính : $I = \int_{0}^{1} (x + 1) e^{x} f (x) d x =$ $\int_{0}^{1} x e^{x} f (x) d x + \int_{0}^{1} e^{x} f (x) d x = J + K$

Tính $K = \int_{0}^{1} e^{x} f (x) d x$

Đặt

\{\begin{cases} u = e^{x} f (x) \\ d v = d x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = [e^{x} f (x) + e^{x} f^{'} (x)] d x \\ v = x \end{cases}

\Rightarrow K = {(x e^{x} f (x))|}_{0}^{1} - \int_{0}^{1} [x e^{x} f (x) + x e^{x} f^{'} (x)] d x

= - \int_{0}^{1} x e^{x} f (x) d x - \int_{0}^{1} x e^{x} f^{'} (x) d x

(do f (1) = 0)

\Rightarrow K = - J - \int_{0}^{1} x e^{x} f^{'} (x) d x

\Rightarrow I = J + K = - \int_{0}^{1} x e^{x} f^{'} (x) d x

- Kết hợp giả thiết ta được :

$\{\begin{cases} \int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \frac{e^{2} - 1}{4} \\ - \int_{0}^{1} x e^{x} f^{'} (x) d x = \frac{e^{2} - 1}{4} \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} \int_{0}^{1} {[f^{'} (x)]}^{2} d x = \frac{e^{2} - 1}{4} (1) \\ 2 \int_{0}^{1} x e^{x} f^{'} (x) d x = - \frac{e^{2} - 1}{2} (2) \end{cases}$

- Mặt khác, ta tính được : $\int_{0}^{1} x^{2} e^{2 x} d x = \frac{e^{2} - 1}{4} (3)$

- Cộng vế với vế các đẳng thức (1), (2), (3) ta được:

\int_{0}^{1} ({[f^{'} (x)]}^{2} + 2 x e^{x} f^{'} (x) + x^{2} e^{2 x}) d x = 0

\Leftrightarrow \int_{o}^{1} {(f^{'} (x) + x e^{x})}^{2} d x = 0

\Leftrightarrow π \int_{o}^{1} {(f^{'} (x) + x e^{x})}^{2} d x = 0

hay thể tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f^{'} (x) + x e^{x}

, trục Ox, các đường thẳng x=0 , x=1 khi quay quanh trục Ox bằng 0

\Rightarrow f^{'} (x) + x e^{x} = 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) = - x e^{x} \Rightarrow f (x) = - \int x e^{x} d x = (1 - x) e^{x} + C

- Lại do

f (1) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow f (x) = (1 - x) e^{x}

\Rightarrow \int_{0}^{1} f (x) d x = \int_{0}^{1} (1 - x) e^{x} d x = {((1 - x) e^{x})|}_{0}^{1} + \int_{0}^{1} e^{x} d x = - 1 + {e^{x}|}_{0}^{1} = e - 2

Vậy

\int_{0}^{1} f (x) d x = e - 2

Câu hỏi trên thuộc đề trắc nghiệm dưới đây !

Đề kiểm tra Giữa học kì 2 Toán 12 có đáp án (Mới nhất) !!

Số câu hỏi: 444

Lớp 12

Toán học

Toán học - Lớp 12

Home

Tiểu học Lớp 6 Lớp 7 Lớp 8 Lớp 9 Lớp 10 Lớp 11 Lớp 12 Hóa học Tài liệu Đề thi & kiểm tra Câu hỏi hoctapsgk.com Nghe truyện audio Đọc truyện chữ Công thức nấu ăn

Copyright © 2021 HOCTAP247