Biết các số phức z thỏa mãn |z-3|=|z+4i|. Tìm |w|min biết

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

$$\begin{gathered} \mathrm{Đặt} \mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{yi} (\mathrm{x};\mathrm{y}\in \mathrm{ℝ}) \mathrm{có} \mathrm{điểm} \mathrm{biểu} \mathrm{diễn} \mathrm{là} \mathrm{M}(\mathrm{x};\mathrm{y}) \\ \mathrm{Ta} \mathrm{có}: \left|\mathrm{z}-3\right|=\left|\mathrm{z}+4\mathrm{i}\right| \\ \iff \left|\mathrm{x}-3+\mathrm{yi}\right|=\left|\mathrm{x}+(\mathrm{y}+4)\mathrm{i}\right| \\ \iff {\left(\mathrm{x}-3\right)}^2+{\mathrm{y}}^2={\mathrm{x}}^2+{\left(\mathrm{y}+4\right)}^2 \\ \iff -6\mathrm{x}+9=8\mathrm{y}+16 \\ \iff 6\mathrm{x}+8\mathrm{y}+7=0 \\ \Rightarrow \mathrm{Tập} \mathrm{hợp} \mathrm{các} \mathrm{điểm} \mathrm{biểu} \mathrm{dễn} \mathrm{số} \mathrm{phức} \mathrm{z} \mathrm{thỏa} \mathrm{mãn} \mathrm{điều} \mathrm{kiện} \mathrm{trên} \mathrm{nằm} \mathrm{trên} \mathrm{đường} \mathrm{thẳng} \left(\mathrm{d}\right): 6\mathrm{x}+8\mathrm{y}+7=0 \\ \mathrm{Gọi} \mathrm{A}( 3;-4) \mathrm{là} \mathrm{điểm} \mathrm{biểu} \mathrm{diễn} \mathrm{số} \mathrm{phức} 3-4\mathrm{i} \\ \Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AM}}=\left(\mathrm{x}-3;\mathrm{y}+4\right) \mathrm{biểu} \mathrm{diễn} \mathrm{số} \mathrm{phức} \mathrm{w}=\mathrm{z}+4\mathrm{i}-3 \\ \Rightarrow \left|\mathrm{w}\right|=\mathrm{AM} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{Từ} \mathrm{hình} \mathrm{vẽ} \mathrm{ta} \mathrm{thấy} {\mathrm{AM}}_{\min }\iff \mathrm{AM}\perp \left(\mathrm{d}\right) \mathrm{hay} \mathrm{AM}\equiv \mathrm{AH} \\ \mathrm{Mặt} \mathrm{khác} \mathrm{AH}=\mathrm{d}(\mathrm{A};(\mathrm{d}\left)\right)=\frac{\left|6.3+8.(-4)+7\right|}{\sqrt{6^2+8^2}}=\frac{7}{10} \\ \Rightarrow {\left|\mathrm{z}\right|}_{\min }=\mathrm{AH}=\frac{7}{10} \end{gathered}$$