Cho tích phân từ 1 đến e của [1/x + lnx/x(lnx+2)^2]dx=aln3+bln2+c/3

* Hướng dẫn giải

Đáp án B.

$$\begin{gathered} I={\int }_1^e\left[\frac{1}{x}+\frac{\ln x}{x{(\ln x+2)}^2}\right]dx={\int }_1^e\frac{1}{x}dx+{\int }_1^e\frac{\ln x}{x{(\ln x+2)}^2}dx=D+E \\ D={\int }_1^e\frac{1}{x}dx={\overline{)\ln x}}_1^e=1 \\ E={\int }_1^e\frac{\ln x}{x{(\ln x+2)}^2}dx \\ Đặt \ln x+2=t\iff \frac{dx}{x}=dt \\ Đổi cận: x=1\Rightarrow t=2; x=e\Rightarrow t=3 \\ \Rightarrow E={\int }_2^3\frac{t-2}{t^2}dt={\int }_2^3\left(\frac{1}{t}-\frac{2}{t^2}\right)dt \\ ={\overline{)\ln t+\frac{2}{t}}}_2^3=\ln 3+\frac{2}{3}-\ln 2-1=\ln 3-\ln 2-\frac{1}{3} \\ \Rightarrow I=1+\ln 3-\ln 2-\frac{1}{3}=\ln 3-\ln 2+\frac{2}{3} \\ \Rightarrow a=1;b=-1;c=2 \\ \Rightarrow a^2+b^2+c^2=1+1+4=6 \end{gathered}$$