Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a và biết diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy

Cách giải:

Gọi b là độ dài cạnh bên, I là trung điểm của BC $\Rightarrow SI\perp BC$ 

Tam giác SIB vuông tại I $\Rightarrow SI=\sqrt{S{B}^2-I{B}^2}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}$ 

$\Rightarrow S_{SBC}=\frac{1}{2}.SI.BC=\frac{1}{2}.\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}.a\Rightarrow S_{xq}=4.S_{SBC}=2a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}$ 

Diện tích đáy: $S_{ABCD}=a^2$ 

Theo đề bài, ta có:

$2a\sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}=2a^2\iff \sqrt{b^2-\frac{a^2}{4}}=a\iff b^2-\frac{a^2}{4}=a^2\iff b^2=\frac{5}{4}{a}^2\iff b=\frac{\sqrt{5}}{2}a$ 

ABCD là hình vuông cạnh a $\Rightarrow OB=\frac{a}{\sqrt{2}}$ 

Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow SO\perp \left(ABCD\right)$ 

Tam giác SOB vuông tại O $\Rightarrow SO=\sqrt{S{B}^2-O{B}^2}=\sqrt{\frac{5}{4}{a}^2-\frac{a^2}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a$