Cho lăng trụ đứng ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C

Câu hỏi :

Cho lăng trụ đứng $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, $AC=a\sqrt{2}$. Biết tam giác $AB{C}_1$  có chu vi bằng 5a . Tính thể tích V của khối lăng trụ $ABC.A_1{B}_1{C}_1$

* Đáp án

D

* Hướng dẫn giải

Đáp án D

Phương pháp:

Thể tích khối lăng trụ: $V=Sh$ 

Cách giải:

ABC là tam giác vuông cân tại C, $AC=a\sqrt{2}\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}BC=AC=a\sqrt{2}\\ AB=AC\sqrt{2}=2a\end{array}\right.$

Đặt $AA\text{'}=BB\text{'}=CC\text{'}=h$

Tam giác $AC{C}_1$ vuông tại C $\Rightarrow A{C}_1=\sqrt{2a^2+h^2}$

Tam giác $BC{C}_1$ vuông tại C $\Rightarrow B{C}_1=\sqrt{2a^2+h^2}$

Chu vi tam giác $AB{C}_1:\sqrt{2a^2+h^2}+\sqrt{2a^2+h^2}+2a=5a$

$\iff 2\sqrt{2a^2+h^2}=3a\iff 2a^2+h^2=\frac{9}{4}{a}^2\iff h^2=\frac{a^2}{4}\iff h=\frac{a}{2}$

Thể tích V của khối lăng trụ $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ là $V=S_{ABC}.h=\frac{1}{2}.{\left(a\sqrt{2}\right)}^2.\frac{a}{2}=\frac{a^3}{2}$