tìm m thuộc R để phương trình 2^sin ^2 x + 3 ^ cos ^2 x có nghiệm

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Đặt ${\sin }^{2}x=t, t\in [0;1]$$$. Khi đó  phương trình đã cho tương đương với

$2^t+3^{1-t}=m.3^t \iff {\left(\frac{2}{3}\right)}^t+\frac{3}{{\left(3^t\right)}^2}=m \iff {\left(\frac{2}{3}\right)}^t+3^{1-2t}=m$$$

Xét phương trình $f\left(t\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^t+3^{1-2t} với t\in [0;1]$$$

Ta có: $f\text{'}\left(t\right)={\left(\frac{2}{3}\right)}^t\ln \left(\frac{2}{3}\right)-2.\ln 3.3^{1-2t}<0 với \forall t\in [0;1]$$$

Vậy hàm số trên luôn nghịch biến trên [0;1]

Ta có f(0) = 4 và f(1) = 1

KL: Phương trình có nghiệm khi $1\le x\le 4$