Cho tứ diện ABCD có AB = x thay đổi, tất cả các cạnh còn lại có độ dài a

Câu hỏi :

Cho tứ diện ABCD có $AB=x$ thay đổi, tất cả các cạnh còn lại có độ dài a. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD trong trường hợp thể tích của khối tứ diện ABCD lớn nhất.

* Đáp án

B

* Hướng dẫn giải

Đáp án B

Cách giải:

Gọi M là trung điểm của CD. Kẻ AH vuông góc mặt phẳng (BCD) (H thuộc (BCD)) 

$\Rightarrow H\in BM,AH\perp HM$

$V_{ABCD}$ lớn nhất khi và chỉ khi AH có độ dài lớn nhất, tức là khi H trùng M

Hai tam giác ACD, BCD đều, cạnh a, có đường cao AM, BM bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ 

Tam giác ABM vuông cân tại A, lấy N là trung điểm của AB $\Rightarrow MN\perp AB$ 

Mà $MN\subset \left(AMB\right)\perp CD\Rightarrow MN\perp CD\Rightarrow$ MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD

Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD là: $MN=\frac{AM}{\sqrt{2}}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{4}$