Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a

Câu hỏi :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, $SA\perp \left(ABCD\right)$ và $SA=a$. Gọi E là trung điểm của cạnh AB. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bằng .SBCE

* Đáp án

A

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Phương pháp:

Sử dụng phương pháp tọa độ hóa.

Cách giải:

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Trong đó, $B\left(2a;0;0\right),C\left(2a;2a;0\right),E\left(a;0;0\right),S\left(0;0;a\right)$

Gọi $I\left(x_0;y_0;z_0\right)$ là tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BEC. Khi đó, $I{S}^2=I{B}^2=I{C}^2=I{E}^2$

$\begin{array}{l}\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0^2+y_0^2+{\left(z_0-a\right)}^2={\left(x_0-2a\right)}^2+y_0^2+z_0^2\\ x_0^2+y_0^2+{\left(z_0-a\right)}^2={\left(x_0-2a\right)}^2+{\left(y_0-2a\right)}^2+z_0^2\\ x_0^2+y_0^2+{\left(z_0-a\right)}^2={\left(x_0-a\right)}^2+y_0^2+z_0^2\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}-2a{z}_0+a^2=-4a{x}_0+4a^2\\ -2a{z}_0+a^2=-4a{x}_0+4a^2-4a{y}_0+4a^2\\ -2a{z}_0+a^2=-2a{x}_0+a^2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}4x_0-2z_0=3a\\ 4x_0+4y_0-2z_0=7a\\ x_0-z_0=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_0=\frac{3a}{2}\\ y_0=a\\ z_0=\frac{3a}{2}\end{array}\right.\end{array}$

Bán kính mặt cầu: $R=SI=\sqrt{x_0^2+y_0^2+{\left(z_0-a\right)}^2}=\sqrt{\frac{9a^2}{a}+a^2+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{14}}{2}$ 

Diện tích mặt cầu: $S=4\pi R^2=14\pi a^2$