Cho hàm số y = 2x+3/ x-2 có đồ thị (C)

Đáp án D

Cách giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng $y=2x+m$:

$\frac{2x+3}{x-2}=2x+m,\left(x\ne 2\right)\iff 2x+3=\left(2x+m\right)\left(x-2\right)\iff 2x^2+\left(m-6\right)x-2m-3=0\left(*\right)$ 

Dễ dàng kiểm tra được x=2 không phải nghiệm của phương trình (*) với mọi m

Để phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thì $\Delta >0\iff {\left(m-6\right)}^2+8\left(2m+3\right)>0\iff m^2+4m+60>0$, luôn đúng

$y=\frac{2x+3}{x-2}\Rightarrow y=-\frac{7}{{\left(x-2\right)}^2}$ 

Tiếp tuyến của (C) tại hai điểm giao song song với nhau

$\iff -\frac{7}{{\left(x_1-2\right)}^2}=-\frac{7}{{\left(x_1-2\right)}^2}\iff {\left(x_1-2\right)}^2={\left(x_2-2\right)}^2\iff \left[\begin{array}{l}{x}_1=x_2\\ x_1+x_2=4\end{array}\right.\iff x_1+x_2=4$

Theo Vi – ét, ta có: $x_1+x_2=-\frac{m-6}{2}\Rightarrow -\frac{m-6}{2}=4\iff m-6=-8\iff m=-2$