Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, hình chiếu của S lên (ABCD)

Cách giải:

Do $AH//\left(SCD\right)$ nên $d\left(A;\left(SCD\right)\right)=d\left(H;\left(SCD\right)\right)$ 

Kẻ $HI//AD,I\in CD,HK\perp SI,K\in SI$ 

$\Rightarrow d\left(H;\left(SAC\right)\right)=HK=\sqrt{26}$ 

Giả sử độ dài cạnh hình vuông ở đáy là x. Khi đó, $HI=x$ 

$\Delta HBC$ vuông tại B $\Rightarrow HC=\sqrt{H{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{{\left(\frac{2}{3}x\right)}^2+x^2}=\frac{\sqrt{13}x}{3}$ 

$SH\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow \left(SC;\left(ABCD\right)\right)=\widehat{SCH}={60}^0$ 

$\Delta SHC$ vuông tại H $\Rightarrow SH=HC.\tan {60}^0=\frac{\sqrt{13}x}{3}.\sqrt{3}=\frac{\sqrt{39}x}{3}$ 

$\Delta SHI$ vuông tại H,

 $\begin{array}{l}HK\perp SI\Rightarrow \frac{1}{H{K}^2}=\frac{1}{S{H}^2}+\frac{1}{I{H}^2}\iff \frac{1}{26}=\frac{1}{\frac{13x^2}{3}}+\frac{1}{x^2}=\frac{16}{13x^2}\iff x^2=32\Rightarrow x=4\sqrt{2}\\ \Rightarrow SH=\frac{\sqrt{39}.4\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{78}}{3}\end{array}$