Số giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Đáp án B

Phương pháp:

+) Đặt $t=\sqrt{2x-3},t\ge 0$, rút x theo t.

+) Thế vào phương trình, lập phương hai vế, cô lập m, đưa phương trình về dạng m = f(t) 

+) Khảo sát và lập BBT của hàm số $y=f\left(t\right),t\ge 0$ Biện luận để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

Cách giải:

Đặt $\sqrt{2x-3}=t,t\ge 0\Rightarrow x=\frac{t^2+3}{2}$. Phương trình trở thành:

$\begin{array}{l}\sqrt[3]{m-\frac{t^2+3}{2}}+t=4\iff \sqrt[3]{m-\frac{t^2+3}{2}}=4-t\iff m-\frac{t^2+3}{2}={\left(4-t\right)}^3\\ \iff m=\frac{t^2+3}{2}+{\left(4-t\right)}^3\iff m=\frac{t^2}{2}+\frac{3}{2}+64-48t+12t^2-t^3\iff m=-t^3+\frac{25}{2}{t}^2-48t+\frac{131}{2}\end{array}$ 

Xét hàm số $y=f\left(t\right)=-t^3+\frac{25}{2}{t}^2-48t+\frac{131}{2},t\ge 0$ 

ta có: $f\text{'}\left(t\right)=-3t^2+25t-48=0\iff \left[\begin{array}{l}t=3\\ t=\frac{16}{3}\end{array}\right.$ 

Bảng biến thiên: