Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

Câu hỏi :

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình  ${\log }_2\left(5^x-1\right).{\log }_4\left({2.5}^x-2\right)=m$ có nghiệm $x\ge 1$

* Đáp án

C

* Hướng dẫn giải

Đáp án C

Phương pháp:

Biến đổi, đặt ${\log }_2\left(5^x-1\right)=t,t\ge 2$

Cách giải:

$\begin{array}{l}{\log }_2\left(5^x-1\right).{\log }_4\left({2.5}^x-2\right)=m\\ \iff {\log }_2\left(5^x-1\right).{\log }_{2^2}2\left(5^x-1\right)=m\\ \iff \frac{1}{2}{\log }_2\left(5^x-1\right).\left[1+{\log }_2\left(5^x-1\right)\right]=m\\ \iff {\log }_2^2\left(5^x-1\right)+{\log }_2\left(5^x-1\right)-2m=0\end{array}$

Đặt ${\log }_2\left(5^x-1\right)=t,t\ge 2$, phương trình trở thành:

$t^2+t-2m=0,t\ge 2\iff t^2+t=2m,t\ge 2\left(*\right)$

Xét hàm số $f\left(t\right)=t^2+t,t\ge 2$ có:

$f\text{'}\left(t\right)=2t+1>0,\forall t\ge 2\Rightarrow$Hàm số đồng biến trên khoảng $\left[2;+\infty \right)$

Để phương trình (*) có nghiệm thì  $2m\ge 6\iff m\ge 3$