Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên với đáy bằng

Câu hỏi :

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa mặt bên với đáy bằng ${45}^0$. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC. Tính thể tích của khối tứ diện AMNP.

* Đáp án

A

* Hướng dẫn giải

Đáp án A

Phương pháp:

- Lập tỉ lệ thể tích khối tứ diện AMNP với khối chóp S.ABCD

- Tính thể tích khối chóp S.ABCD

- Tính thể tích khối tứ diện AMNP .

Cách giải:

M là trung điểm của SA $\Rightarrow S_{AMP}=\frac{1}{2}{S}_{SAP}\Rightarrow V_{AMNP}=\frac{1}{2}{V}_{N.SMP}$

N là trung điểm của SB $\Rightarrow V_{N.SMP}=\frac{1}{2}{V}_{S.ABP}$

P là trung điểm của CD $\Rightarrow S_{ABP}=\frac{1}{2}{S}_{ABCD}\Rightarrow V_{S.ABP}=\frac{1}{2}{V}_{S.ABCD}$

$\Rightarrow V_{AMNP}={\left(\frac{1}{2}\right)}^3.V_{S.ABCD}=\frac{V_{S.ABCD}}{8}$

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}OP\perp CD\\ SO\perp CD\end{array}\right.\Rightarrow CD\perp \left(SOP\right)\Rightarrow \left(\left(SCD\right);\left(ABCD\right)\right)=\widehat{SPO}={45}^0$

$\Rightarrow \Delta SOP$ vuông cân tại O

$\Rightarrow SO=OP=\frac{a}{2}$

Thể tích khối chóp S.ABCD: $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SO.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a}{2}.a^2=\frac{a^3}{6}$

$\Rightarrow V_{AMNP}=\frac{V_{S.ABCD}}{8}=\frac{a^3}{48}$