Cho hình chóp S.ABCD có hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy ABCD là điểm thuộc

Câu hỏi :

Cho hình chóp S.ABCD có hình chiếu vuông góc của S trên mặt đáy ABCD là điểm I thuộc AD sao cho $AI=2ID,SB=\frac{a\sqrt{7}}{2}$, ABCD là hình vuông có cạnh bằng a. Khi đó thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:

* Đáp án

C

* Hướng dẫn giải

Chọn C.

Ta có $SI\perp \left(ABCD\right)\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SI.S_{ABCD}$

$AI=2ID\Rightarrow AI=\frac{2}{3}AD=\frac{2a}{3}\Rightarrow BI=\sqrt{A{I}^2+A{B}^2}=\frac{a\sqrt{13}}{3}$

Xét tam giác vuông SB, $S{I}^2+I{B}^2=S{B}^2$

$\iff SI=\sqrt{S{B}^2-I{B}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a\sqrt{7}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{a\sqrt{13}}{3}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{11}}{6}$

Do đó $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.SI.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{11}}{6}.a^2=\frac{a^3\sqrt{11}}{18}$.