Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a . Gọi M, P lần lượt là trung điểm của AA' và B'C'. N là điểm thuộc cạnh A'D'

Gọi E là trung điểm của A'D'. Khi đó MN // AE // BP. Do đó thiết diện cần tìm là hình thang MNPB. Dựa vào các tam giác vuông thì $BP=\sqrt{BB{\text{'}}^2+B\text{'}{P}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$ và $MN=\frac{1}{2}AE=\frac{a\sqrt{5}}{4}$.

$MB=\frac{a\sqrt{5}}{2};NP=\sqrt{a^2+\frac{a^2}{16}}=\frac{a\sqrt{17}}{4}$;

$MP=\sqrt{PA{\text{'}}^2+A\text{'}{M}^2}=\sqrt{A\text{'}B{\text{'}}^2+B\text{'}{P}^2+A\text{'}{M}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{2}$.

Sử dụng công thức Hê-rông để tính $S_{\Delta MPB}=\frac{a^2\sqrt{21}}{8}$.

Ta có chiều cao hình thang là $h=\frac{2S_{\Delta MBP}}{BP}=\frac{2.\frac{a^2\sqrt{21}}{8}}{\frac{a\sqrt{5}}{2}}=\frac{a\sqrt{105}}{10}$.

Vậy $S_0=\frac{h\left(MN+BP\right)}{2}=\frac{3a^2\sqrt{21}}{16}$.