Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12 cm và chiểu rộng 8cm.

Câu hỏi :

Cho một tờ giấy hình chữ nhật với chiều dài 12 cm và chiểu rộng 8cm. Gấp góc bên phải của tờ giấy sao cho sau khi gấp, đỉnh của góc đó chạm đáy dưới như hình vẽ. Để độ dài nếp gấp là nhỏ nhất thì giá trị nhỏ nhất đó bằng bao nhiêu?

* Đáp án

D

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Đặt $EF=x,EC=8-x\Rightarrow FC=\sqrt{x^2-{\left(8-x\right)}^2}=\sqrt{16x-64}$

Ta có $\Delta ADF~\Delta FCE\left(g.g\right)\Rightarrow \frac{EF}{AF}=\frac{CF}{AD}\Rightarrow$$AF=\frac{EF.AD}{FC}=\frac{8x}{\sqrt{16x-64}}$

$y=AE=\sqrt{A{F}^2+E{F}^2}=\sqrt{\frac{64x^2}{16x-64}+x^2}=\sqrt{\frac{16x^3}{16x-64}}$

$f\left(x\right)=\frac{16x^3}{16x-64}x\in \left(0;8\right)$; $f\text{'}\left(x\right)=\frac{48x^2\left(16x-64\right)-16.16x^3}{{\left(16x-64\right)}^2}$

$f\text{'}\left(x\right)=0\iff 768x^3-3072x^2-256x^3=0\iff 512x^3-3072x^2=0\iff x=6$

BBT:

$y=\sqrt{f\left(x\right)}\Rightarrow y_{\min }=\sqrt{f_{\min }}=\sqrt{108}=6\sqrt{3}$