Xét các số thực a, b thỏa mãn a > b > 1 . Tìm giá trị nhỏ nhất P min

Chọn D.

Ta có: $P={\left(2{\log }_{\frac{a}{b}}a\right)}^2+3\left({\log }_{b}a-1\right)=\frac{4}{{\left({\log }_a\frac{a}{b}\right)}^2}+\frac{3}{{\log }_{a}b}-3=\frac{4}{{\left(1-{\log }_{a}b\right)}^2}+\frac{3}{{\log }_{a}b}-3$

Đặt $t={\log }_{a}b$ (Do a > b > 1 => 0 < t < 1).

Xét $f\left(t\right)=\frac{4}{{\left(t-1\right)}^2}+\frac{3}{t}-3$

Khi đó $f\text{'}\left(t\right)=\frac{-8}{{\left(t-1\right)}^3}-\frac{3}{t^2}=0\iff t=\frac{1}{3}$. Ta có: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(t\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(t\right)=+\infty ;f\left(\frac{1}{3}\right)=15$

Do đó $P_{\min }=15$