Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a , cạnh bên hợp với đáy một góc 60 độ

Câu hỏi :

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60^o . Gọi M là điểm đối xứng với C qua D; N là trung điểm của SC , mặt phẳng (BMN) chia khối chóp S.ABCD thành hai phần. Tính tỉ số thể tích giữa hai phần đó.

* Đáp án

D

* Hướng dẫn giải

Chọn D.

Đặt $\left\{\begin{array}{l}{V}_1=V_{SABIKN}\\ V_2=V_{NBCDIK}\end{array}\right.\to \frac{V_1}{V_2}=?$

* $V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{2}{a}^2=\frac{\sqrt{6}}{6}{a}^3$

* $V_{N.BMC}=\frac{1}{3}.NH.S_{\Delta BMC}=\frac{1}{3}.\frac{SO}{2}.S_{\Delta BMC}=\frac{1}{3}\frac{a\sqrt{6}}{4}.\frac{1}{2}.a.2a=\frac{\sqrt{6}}{12}{a}^3$

* Nhận thấy K là trọng tâm của tam giác SMC $\to \frac{MK}{MN}=\frac{2}{3}$

* $\frac{V_{M.DIK}}{V_{M.CBN}}=\frac{MD}{MC}.\frac{MI}{MB}.\frac{MK}{MN}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{6}$

$\begin{array}{l}\to V_2=V_{M.CBN}-V_{M.DIK}=\frac{5}{6}{V}_{M.CBN}=\frac{5}{6}.\frac{\sqrt{6}}{12}{a}^3=\frac{5\sqrt{6}}{72}{a}^3\\ \to V_1=V_{S.ABCD}-V_2=\frac{\sqrt{6}}{6}{a}^3-\frac{5\sqrt{6}}{72}{a}^3=\frac{7\sqrt{6}}{72}{a}^3\to \frac{V_1}{V_2}=\frac{\frac{7\sqrt{6}}{72}{a}^3}{\frac{5\sqrt{6}}{72}{a}^3}=\frac{7}{5}\end{array}$