Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình

Câu hỏi :

Một bình đựng nước dạng hình nón (không có đáy), đựng đầy nước. Biết rằng chiều cao của bình gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Người ta thả vào đó một khối trụ và đo được thể tích nước tràn ra ngoài là $\frac{16\pi }{9}\left(d{m}^3\right)$. Biết rằng một mặt của khối trụ nằm trên mặt đáy của hình nón, các điểm trên đường tròn đáy còn lại đều thuộc các đường sinh của hình nón (như hình dưới) và khối trụ có chiều cao bằng đường kính đáy của hình nón. Tính diện tích xung quanh $S_{xq}$ của bình nước.

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Xét mặt cắt và kí hiệu các điểm như hình vẽ, ta có thể tích nước tràn ra chính là thể tích của khối trụ có bán kính đáy là $DH=EH=r_0$ và chiều cao $HK=h_0$. Còn chiều cao của bình đựng nước dạng hình nón là $AH=h$ và bán kính đáy là $BH=CH=r$. Để ý rằng $h=3r$ và $h_0=2r$.

Ta có: $\frac{MK}{BH}=\frac{AK}{AH}\iff \frac{r_0}{r}=\frac{h-h_0}{h}\iff \frac{h}{r}=\frac{h-h_0}{r_0}\iff 3=\frac{3r-2r}{r_0}\iff r_0=\frac{r}{3}$

Theo đề, thể tích khối trụ là:

$\begin{array}{l}\frac{16\pi }{9}=\pi r_0^2{h}_0\Rightarrow r_0^2{h}_0=\frac{16}{9}=2r_0^{2}r=2{\left(\frac{r}{3}\right)}^{2}r\iff r=2\\ \Rightarrow h=3r=6\Rightarrow l=\sqrt{h^2+r^2}=2\sqrt{10}\Rightarrow S_{xq}=\pi rl=4\pi \sqrt{10}\left(d{m}^3\right)\end{array}$