Tính tổng t tất cả các nghiệm của phương trình

Chọn D.

Ta có

$\begin{array}{l}{5}^{{\sin }^{2}x}+5^{{\cos }^{2}x}=2\sqrt{5}\iff 5^{{\sin }^{2}x}+5^{1-{\sin }^{2}x}=2\sqrt{5}\iff 5^{{\sin }^{2}x}+\frac{5}{5^{{\sin }^{2}x}}=2\sqrt{5}\\ \iff {\left(5^{{\sin }^{2}x}\right)}^2-2\sqrt{5}{.5}^{{\sin }^{2}x}+5=0\iff {\left(5^{{\sin }^{2}x}-\sqrt{5}\right)}^2=0\iff 5^{{\sin }^{2}x}-\sqrt{5}=0\iff 5^{{\sin }^{2}x}=5^{\frac{1}{2}}\\ \iff {\sin }^{2}x=\frac{1}{2}\iff \left[\begin{array}{l}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin x=-\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right.\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\end{array}$