Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc ABC = 60 độ, SA vuông góc với đáy

Do ABCD là hình thoi cạnh a và $\widehat{ABC}={60}^0$ nên tam giác ABC đều.

Vậy $S_{ABCD}=2S_{ABC}=2.\frac{\sqrt{3}{a}^2}{4}=\frac{\sqrt{3}{a}^2}{2}.$ 

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}BD\perp AC\\ BD\perp SA\end{array}\right.\Rightarrow BD\perp \left(SAC\right)$ 

$\Rightarrow \widehat{\left(SD,\left(SAC\right)\right)}=\widehat{DSO}={45}^0.$ Vậy tam giác SOD vuông cân tại $O\Rightarrow SO=DO=\frac{a\sqrt{3}}{2}.$

Xét tam giác SAO vuông tại A: $SA=\sqrt{S{O}^2-A{O}^2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow V_{S.ABCD}=\frac{1}{3}SA.S_{ABCD}=\frac{\sqrt{6}{a}^3}{12}.$