Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số

* Hướng dẫn giải

Lời giải

Chọn A

Ta có $y^{\text{'}}=6x^2-6\left(m+1\right)x+6m$.

$y^{\text{'}}=0\iff 6x^2-6\left(m+1\right)x+6m=0\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=m\end{array}\right.$

Hàm số có hai điểm cực trị $\iff m\ne 1$.

Khi đó hai điểm cực trị là $A\left(1;3m-1\right)$, $B\left(m;-m^3+3m^2\right)$

$\Rightarrow \overrightarrow{AB}=\left(m-1;-m^3+3m^2-3m+1\right)$.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $y=x+2$ là $\overrightarrow{u_d}=\left(1;1\right)$.

Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng $y=x+2\iff \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{u_d}=0$

$$\begin{gathered} \iff m-1-m^3+3m^2-3m+1=0\iff m^3-3m^2+2m=0\iff m\left(m-1\right)\left(m-2\right)=0 \\ \iff \left[\begin{array}{l}m=0\left(tm\right)\\ m=2\left(tm\right)\\ m=1\left(l\right)\end{array}\right. \end{gathered}$$

Vậy m  = 0 hoặc m = 2