Một nóc nhà cao tầng có dạng một hình nón. Người ta muốn xây một bể có dạng hình trụ nội tiếp trong hình nón để chứa nước

Câu hỏi :

Một nóc nhà cao tầng có dạng một hình nón. Người ta muốn xây một bể có dạng hình trụ nội tiếp trong hình nón để chứa nước (như hình vẽ minh họa). Cho biết SO = h; OB = R và OH = x, (0 < x < h). Tìm x để hình trụ tạo ra có thể tích lớn nhất.

* Đáp án

* Hướng dẫn giải

Ta có $△SHC~SOB$ nên $\frac{SH}{SO}=\frac{HC}{OB}\Rightarrow \frac{h-x}{h}=\frac{HC}{R}\Rightarrow HC=\frac{R(h-x)}{h}$.

Suy ra thể tích khối trụ là:

Do đó khối trụ lớn nhất bằng $\frac{4{\mathrm{\pi hR}}^2}{27}$ đạt được khi $h-x=2x\iff x=\frac{h}{3}$.

Vậy, $x=\frac{h}{3}$ thì khối trụ có thể tích lớn nhất.