Gọi a, b là các số hữu tỉ sao cho tích phân từ 0 đến 1 (x + 1)/ (x^2 + 1) dx = aln2 + b.pi. Giá trị của tích ab bằng

Đáp án đúng là: C

Đặt x = tan t Þ x² + 1 = tan² t + 1

Và $dx=\frac{1}{{\cos }^{2}t}dt=({\tan }^{2}t+1)dt$ 

Đổi cận ta được:

+ x = 0 $\Rightarrow$ t = 0

+ x = 2 $\Rightarrow t=\frac{\pi }{4}$ 

$\Rightarrow \underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x+1}{x^2+1}dx=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\frac{\tan t+1}{{\tan }^{2}t+1}.({\tan }^{2}t+1)dt$ 

$=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}(\tan t+1)dt=\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}\left(\frac{\sin t}{\cos t}+1\right)dt$  

$=(-\ln \left|\cos t\right|+t)\overline{)\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{4}}{}}}=\frac{\pi }{4}-\ln \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{1}{2}\ln 2+\frac{\pi }{4}$ 

Suy ra $a=\frac{1}{2},b=\frac{1}{4}\Rightarrow a.b=\frac{1}{2}.\frac{1}{4}=\frac{1}{8}$