Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, AD

AH là đường cao của tứ diện đều A.BCD nên H là trọng tâm tam giác BCD

Suy ra, $HD=\frac{a\sqrt{3}}{3}$ 

$\Rightarrow AH=\sqrt{A{D}^2-H{D}^2}$ 

$=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)}^2}=\frac{a\sqrt{6}}{3}$ 

Và $S_{BCD}=\frac{1}{2}BC.BD.\sin \widehat{CBD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ 

Ta có: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{AP}{AD}=\frac{1}{2}$ 

Suy ra mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (BCD)

$\Rightarrow$ d_O/(MNP) = d_B/(MNP) = d_A/(MNP)

$=\frac{1}{2}{d}_{A/\left(BCD\right)}=\frac{AH}{2}=\frac{a\sqrt{6}}{6}$ 

$S_{MNP}={\left(\frac{AM}{AB}\right)}^2.S_{BCD}=\frac{1}{4}{S}_{BCD}=\frac{a^2\sqrt{3}}{16}$ 

Suy ra $V_{O.MNP}=\frac{1}{3}{d}_{O/\left(MNP\right)}.S_{MNP}$ 

$=\frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{6}}{6}.\frac{a^2\sqrt{3}}{16}=\frac{a^3\sqrt{2}}{36}$