Tính các tích phân sau:a) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3x - 5} \right){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}dx} \)b) \(\i

* Hướng dẫn giải

a) Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}
u = 3x - 5\\
dv = {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}dx
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = 3dx\\
v =  - \cos x
\end{array} \right.\) ta có:

\(\begin{array}{l}
\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3x - 5} \right){\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}dx}  =  - \left. {\left( {3x - 5} \right)\cos x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} + 3\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\cos xdx} \\
 =  - 5 + \left. {3\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} =  - 5 + 3 =  - 2
\end{array}\)

b) Đặt \(u = \sqrt {1 + {x^2}}  \Rightarrow {u^2} = 1 + {x^2} \Rightarrow xdx = udu\)

Tại \(x = 0 \Rightarrow u = 1\)

Tại \(x = \sqrt 3  \Rightarrow u = 2\)

Khi đó \(\int\limits_0^{\sqrt 3 } {x\sqrt {1 + {x^2}} dx}  = \int\limits_1^2 {{u^2}du}  = \left. {\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_1^2 = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}\)