Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ { - 1; + \infty } \right)\) và \(\int\limits_0^8 {f(\sqrt {x + 1} )dx = 10} \).

* Hướng dẫn giải

Đặt \(t = \sqrt {x + 1}  \Rightarrow dt = \frac{1}{{2\sqrt {x + 1} }}d{\rm{x}} = \frac{1}{{2t}}d{\rm{x}} \Rightarrow d{\rm{x}} = 2t{\rm{d}}t\)

\( \Rightarrow \int\limits_0^8 {f(\sqrt {x + 1} )} d{\rm{x}} = \int\limits_1^3 {f(t).2tdt}  = 2\int\limits_1^3 {t.f(t)dt = 2\int\limits_1^3 {x.f(x)d{\rm{x}}} }  \Leftrightarrow 10 = 2\int\limits_1^3 {x.f(x)d{\rm{x}}}  \Leftrightarrow I = 5\)